(1) Ho affrontato lo sviluppo diretto di Ji, tramite applicazioni successive del teorema binomiale: un lavoro molto complicato. Ho fatto molti esperimenti; riporto questo risultato:
Sviluppo in serie delle funzioni G fino all'ordine W:
Infine, con le funzioni CG ho ottenuto le funzioni CJ:
Ad una persona che non ha mai affrontato questa ricerca, queste formule possono sembrare assurdamente complicate. Ma io mi rallegro di essere riuscito ad ottenere questo risultato da un'espressione iniziale informe. Oltretutto, l'aspetto complicato si trova in funzioni numeriche, che i programmi matematici eseguono agevolmente e velocemente. La cosa importante è che le parti simboliche dello sviluppo di Ji (monomi, esponenziali) sono espresse da delle sommatorie semplici e simmetriche. In altre parole, sono riuscito a riversare tutta la difficoltà in un algoritmo numerico, che richiede solo una parte del tempo di calcolo: agli occhi umani viene presentata una struttura semplice di monomi ed esponenziali, con coefficienti numerici interi o frazionari (dati dalle funzioni CJ). Ho cercato altri modi per calcolare le CJ.
2) Sono riuscito a applicare alla formula che ho descritto un celebre e antico teorema di riduzione, detto formula di Vandermonde
In questo modo, mi sono sbarazzato di due sommatorie, apparentemente al prezzo più che accettabile di rendere più complicata la funzione sommanda. Poi ho scoperto che lo stesso risultato si poteva ottenere anche modificando la funzione J da elevare a potenza, ottenendo uno sviluppo con 6 sommatorie, invece di 8:
In questo modo, mi sono sbarazzato di due sommatorie, apparentemente al prezzo più che accettabile di rendere più complicata la funzione sommanda. Poi ho scoperto che lo stesso risultato si poteva ottenere anche modificando la funzione J da elevare a potenza, ottenendo uno sviluppo con 6 sommatorie, invece di 8:
Tutto a posto? No. Mi sono reso conto che queste semplificazioni avevano in realtà un prezzo enorme, tanto che rendevano il risultato inutilizzabile per i miei scopi. Nella sua struttura elementare, la funzione perturbatrice ha delle semplici proprietà dette caratteristiche di d'Alembert: il grado del monomio delle variabili legate alle inclinazioni è uguale (o superiore di un numero pari) al valore assoluto del coefficiente della corrispondente longitudine del nodo ascendente nell'argomento. Un'analoga relazione lega le eccentricità e le longitudini dei perieli. Nella formula algebricamente semplificata (con 6 sommatorie) queste proprietà spariscono, e questo rende impossibile le mie operazioni. Ho voluto comunque portare avanti il calcolo come per lo sviluppo originale, per verificare l'entità del danno. Il risultato era notevolmente assomigliante al risultato diretto, ma con delle sommatorie alterate. Ho provato a sostituire al loro posto le sommatorie corrette, e ho visto che questa formula "chimera" (con le sommatorie prese da uno sviluppo, la funzione sommanda da un altro) forniva risultati esatti.... Proseguendo, ho trovato:
Sembra che queste formule funzionino correttamente, anche più velocemente di quelle con uno sviluppo regolare. Ma non posso garantirlo al cento per cento.
(3) Ho utilizzato i coefficienti CP, che dipendono dai FN (vedi), coefficienti dello sviluppo in serie delle funzioni di Kaula:
(3) Ho utilizzato i coefficienti CP, che dipendono dai FN (vedi), coefficienti dello sviluppo in serie delle funzioni di Kaula:
Devo l'idea di utilizzare le funzioni di Kaula per il calcolo di Ji al libro "Solar System Dynamics" (1999) di Carl D. Murray & Stanley F. Dermott, però la mia trattazione è piuttosto diversa. Ho definito le funzioni Ji e CJ che descrivono il problema, e ho dedotto la loro teoria. Ho eliminato una sommatoria, questa volta senza toccare le caratteristiche di d'Alembert. Però il risultato ignora una proprietà fondamentale dello sviluppo Ji: il grado dei monomi non può essere inferiore a 2i. Ho dovuto fare delle modifiche ad arte per aggiustare questo fatto, e sembra che tutto funzioni. Anche questa formula va usata con riserva. Concludendo, l'unico sviluppo usabile nella forma originale è il primo.