Definisco:
Grazie al teorema di Legendre, si può scrivere lo sviluppo:
Nel caso in cui esso non è rapidamente convergente, Ellis e Murray hanno attuato il passaggio da Δ a Δ1, fidando sul fatto che J si può sviluppare il serie di potenze delle variabili delle inclinazioni, e i monomi sono di grado almeno pari a 2. Io ho studiato la forma generale del coefficiente del radicale con Δ1, scrivendo:
e ottenendo notevoli analogie strutturali con lo sviluppo di Legendre. Una volta ottenuti dei radicali di espressioni che non contengono più le inclinazioni e le longitudini dei nodi, si possono introdurre i coefficienti di Laplace, che saranno funzioni dei raggi vettori oppure dei semiassi. Io ho realizzato la seconda opzione usando la trasformazione da Δ1 a Δ2 (quella algebricamente più semplice che conosco), mentre [Laskar-Robutel-1995] ► hanno trasformato direttamente da Δ e Δ3, sviluppando contemporaneamente secondo le inclinazioni e le eccentricità:
Gli autori citati hanno usato variabili canoniche e metodi iterativi di sviluppo. Io, invece, inizierò il mio studio usando i normali elementi orbitali, e ricaverò delle formule generali espresse con sommatorie.
Ritornando allo sviluppo con le inclinazioni, ecco il confronto fra lo sviluppo con le potenze di ɑ e i polinomi di Legendre, e quello con le potenze di Δ1 e le funzioni J:
Ritornando allo sviluppo con le inclinazioni, ecco il confronto fra lo sviluppo con le potenze di ɑ e i polinomi di Legendre, e quello con le potenze di Δ1 e le funzioni J:
CP e CJ sono delle funzioni numeriche, con valori interi o frazionari, a cui sono arrivato attraverso vari passaggi:
Qui mi limito a questo breve cenno.