Tutti usano i cosiddetti operatori di Newcomb, così chiamati per onorare lo studio sullo sviluppo dei coefficienti di Hansen in serie di potenze dell'eccentricità pubblicato da Simon Newcomb (1835-1909) nel 1895 [Newcomb-1895]. La definizione moderna degli operatori di Newcomb "modificati" N, sviluppata con il contributo di vari autori nel XX secolo, si può mettere in questa forma, usando le sommatorie a passo 2:
Con le funzioni che ho mostrato nella sezione precedente, si ottiene:
Il programma di formule ricorrenti oggi comunemente usato è stato ottenuto, con il metodo delle equazioni indiciali, partendo dall'equazione differenziale:
Qui presento una versione che ho modificato per costruire un programma con Wolfram Mathematica:
Questo è il mio metodo di sviluppo: in ogni problema, bisogna separare il calcolo algebrico da quello numerico. I coefficienti numerici devono essere calcolabili con delle funzioni separate da quelle che costruiscono le funzioni (trigonometriche o esponenziali) applicate agli argomenti. Ho studiato lo sviluppo della parte diretta della funzione perturbatrice con questi metodi:
1) sviluppo in serie secondo le potenze di α (rapporto fra i semiassi maggiori)
2) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace (senza derivate)
3) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace e relative derivate
4) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace generalizzati (senza derivate)
Ho visto che che il questi problemi si presentano delle funzioni di ρ, ρ', L, L' che si possono riassumere nella forma generale:
1) sviluppo in serie secondo le potenze di α (rapporto fra i semiassi maggiori)
2) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace (senza derivate)
3) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace e relative derivate
4) sviluppo in serie di coefficienti di Laplace generalizzati (senza derivate)
Ho visto che che il questi problemi si presentano delle funzioni di ρ, ρ', L, L' che si possono riassumere nella forma generale:
Nei casi più semplici, alcune delle quantità n1, n2, u sono nulle. Sviluppo generale: