Ogni RD(α) si può rappresentare con una sommatoria simbolica; per semplificare la scrittura, tolgo il segno di sommatoria e lo sostituisco con la notazione S[fun], dove fun è la funzione sommanda. Possono essere presenti un coefficiente numerico e una potenza di α all’esterno di S. Ho trovato che spesso RD(α) diverse si esprimono con la stessa S (può cambiare il coefficiente esterno). Il test consiste nel trovare le RD(α) unite da questa proprietà, e nel determinare l’espressione delle sommatorie S[ ] in termini dei vari tipi di coefficienti di Laplace. Per fare questa operazione uso le 4 formule generali e in più consulto una lista di espressioni delle derivate dei coefficienti di Laplace, espresse tramite le sommatorie S. Il programma applica le semplificazioni del formato nei casi <j,0>->0, <r,s>->r, e infine elimina i duplicati.
Questo esperimento è stato fatto su un campione limitato di funzioni; non ha la pretesa di fornire delle proprietà generali. Ho fatto variare il primo coefficiente dell’argomento del coseno fra 0 e 3, per i termini di ordine non superiore a 4. Quando il primo coefficiente dell’argomento è 0, esiste una ambiguità di segno; ho considerato solo l’argomento che ha il primo coefficiente non nullo di segno positivo. Ho ottenuto 900 coefficienti RD(α), che però si possono rappresentare con “sole” 385 sommatorie S[ ], che il programma ha denominato progressivamente SS[1], SS[2], … SS[385]. Il programma ha fornito tutte le RD che si possono esprimere con SS[1], con SS[2], ecc. e tutte le espressioni note di ciascuna di queste funzioni. Esempi:
Questo esperimento è stato fatto su un campione limitato di funzioni; non ha la pretesa di fornire delle proprietà generali. Ho fatto variare il primo coefficiente dell’argomento del coseno fra 0 e 3, per i termini di ordine non superiore a 4. Quando il primo coefficiente dell’argomento è 0, esiste una ambiguità di segno; ho considerato solo l’argomento che ha il primo coefficiente non nullo di segno positivo. Ho ottenuto 900 coefficienti RD(α), che però si possono rappresentare con “sole” 385 sommatorie S[ ], che il programma ha denominato progressivamente SS[1], SS[2], … SS[385]. Il programma ha fornito tutte le RD che si possono esprimere con SS[1], con SS[2], ecc. e tutte le espressioni note di ciascuna di queste funzioni. Esempi:
Non sono riuscito a trovare una buona formula di RD(α) con le derivate dei coefficienti di Laplace generalizzati, però il test ha rivelato che alcune funzioni RD si possono esprimere con uno solo di tali coefficienti. Riporto solo i casi in cui questi coefficienti con 4 argomenti sono gli unici in grado di rappresentare le SS con un solo termine: