Ho mostrato come rappresentare la derivata di un coefficiente di Laplace con una sommatoria, almeno per uno studio formale. Sono riuscito ad ottenere questo risultato anche per le funzioni RD(α). Quando l’argomento del coseno è 0, si ha, in forma compatta:
Gli argomenti nella riga superiore di RD(α) sono sempre pari. Questa formula si può mettere nella stessa forma standard usata per le derivate dei coefficienti di Laplace:
L’ultima formula sembra molto complicata, ma nel calcolo pratico molti dei fattori al numeratore si cancellano con quelli al denominatore. Esempio:
Quando l'argomento del coseno è diverso da 0, applico un algoritmo implementato in Mathematica, che non posso rappresentare qui come una formula. Esso si avvale di un calcolo modificato dei coefficienti FN:
A volte, le serie formali ottenute con questo programma hanno un reale significato fisico, e si possono ricondurre a funzioni ipergeometriche convergenti. Molte altre volte, come nell’esempio che segue, il ricondurre RD ad un’unica sommatoria è una forzatura:
Io ho fornito 4 formule per le funzioni RD(α), con diversi tipi di coefficienti di Laplace, e i risultati in certi casi si possono mettere nella stessa forma, quando sono possibili riduzioni dei coefficienti di Laplace ad un tipo più semplice. In molti casi, espressioni dall’aspetto completamente differente, apparentemente non riducibili, sono in realtà matematicamente simili (differenti solo per un fattore, o anche uguali), e lo si può scoprire sviluppando in serie le espressioni. Lo scopo del programma è quello di cercare sistematicamente queste relazioni, mediante lo studio di uno sviluppo in serie in forma simbolica, non importa se convergente oppure no. Il capitolo seguente illustra l’esperimento.