Il metodo teoricamente più semplice per scrivere RD(α) è la serie di potenze. Supponendo che α sia tanto piccolo da poter trascurare gli esponenti di questa variabile superiori a n, ho trovato:
Le prime due formule di φ sono esatte, perché ho potuto ricavarle studiando le espressioni in forma chiusa per i coefficienti FN e N, che in questo caso sono formate da fattoriali o funzioni simili, senza sommatorie. Invece, come si deduce dall’assenza delle variabili legate alle eccentricità, l’ultima formula rappresenta una stima approssimata, per difetto: essa può fornire un valore più piccolo di quello esatto, e finché non si arriva al reale inizio della serie, i termini corrispondenti della sommatoria risultano nulli, inutili ma innocui. Volendo esprimere RD(α) con una somma finita di funzioni trascendenti, sin dalle origini di questa materia sono stati usati i coefficienti di Laplace classici, con derivate: b(j,u),s. Ho trovato la formula generale:
La prossima formula ha i coefficienti di Laplace generalizzati del tipo b(j),(r, s), senza derivate:
Si possono evitare le derivate anche usando i coefficienti classici b(j),s, che però risultano moltiplicati non da semplici potenze di α, ma da polinomi in α e 1/α, molto complicati per ordini elevati:
Ecco le funzioni di α per le parti indirette, ovviamente prive di sommatorie:
L’ultima formula mostra un’interessante relazione fra i coefficienti dei termini per le funzioni per perturbatore esterno e interno, che si può notare sfogliando le tavole del libro SSD.