Per i polinomi associati di Legendre adotto la definizione usata da Mathematica (altre fonti potrebbero gestire in modo diverso la fase Condon-Shortley (-1)^m ). Sia x reale, n=0, 1, 2,...., -n<=m<=n; allora:
Eugene Paul (Jenő Pál) Wigner (1902-1995) in "Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren" (1931) [trad. ingl. "Group Theory and its Application to Quantum Mechanics of Atomic Spectra", Academic Press, New York (1959)] dedusse un teorema generale per la rotazione delle armoniche sferiche, valido per la meccanica quantistica (supporta anche argomenti semi-interi). Questo teorema si può usare per esprimere le funzioni sferiche che compaiono nello sviluppo della funzione perturbatrice; in tal caso, i coefficienti D e d di Wigner vengono applicati solo a valori interi. Ecco la formula trascritta dal libro:
Nell'articolo "Analysis of Gravitational and Geometric Aspects of Geodetic Utilization of Satellites" [Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, Volume 5, Issue 2, pages 104\[Dash]133, July 1961] William Mason Kaula (1926-2000) pubblicò il primo sviluppo valido per tutte le armoniche del geopotenziale; esso contiene delle funzioni delle inclinazioni, che oggi in suo onore sono dette funzioni di Kaula. Normalmente si cita come riferimento una sua opera successiva, il libro "Theory of Satellite Geodesy - applications of satellites to geodesy" (1966). Questa è la sua definizione originale (modificata con la mia notazione degli elementi e identificata come FK):
Kaula non usò la soluzione di Wigner, come si capisce dalla complicata struttura della sua formula, ma sviluppò direttamente le coordinate astronomiche applicando teoremi di astronomia sferica. Lady Bertha Swirley Jeffreys (1903-1999) in "Transformation of Tesseral Harmonics under Rotation" [Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, Volume 10, Issue 2, 141\[Dash]145, November 1965], pur citando la formula di Wigner, preferì fornire una derivazione diretta con un sofisticato formalismo matematico. Imre [Gyula] Izsák (1929-1965) in "Tesseral harmonics of the geopotential and corrections to station coordinates" [Journal of Geophysical Research, Volume 69, Issue 12, 15 June 1964, Pages 2621\[Dash]2630] finalmente applicò direttamente i coefficienti di Wigner al problema geofisico. R. R. Allan in "On the Motion of Nearly Synchronous Satellites" [Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Volume 288, Issue 1412, October 1965] diede una formula tuttora utilizzata (si veda, ad esempio, C.D Murray & S.F. Dermott, "Solar System Dynamics" (1999)), basata sulla formula di Izsák, con la sola differenza della potenza dell'unità immaginaria messa in evidenza:
Le mie deduzioni si basano su una formula che si trova in letteratura, diversa dal teorema della somma (espressione di Pn). Sia λ la longitudine celeste, e ß la latitudine. Dimostro che:
oppure:
Ho trovato una dimostrazione in "Spherical Harmonics" (II revised ed. 1947) di Thomas Murray MacRobert p. 127, ma ora illustro sommariamente un'altro metodo. Per prima cosa, ho ricavato una trasformazione dell'espressione da sviluppare:
Usando lo sviluppo binomiale, il binomio al primo membro si può esprimere con due sommatorie; la seconda si può ricondurre ad una funzione ipergeometrica:
Confrontando con la definizione di Pn si ottiene il risultato cercato. Per arrivare alla funzione di Kaula, ho fatto una semplice trasformazione della formula:
Applicando delle note formule di astronomia sferica, ho ottenuto una Formula Generatrice delle funzioni di Kaula, molto più semplice di Pn(ψ) usato da questo autore: