I coefficienti di Hansen, universalmente noti, furono introdotti da Peter Andreas Hansen (1795-1874) nel 1855 [Hansen-1855]. Usando il mio stile di notazione, riporto la funzione generatrice:
Applicando un celebre teorema di Fourier, si ottiene subito:
Hansen ha fatto vedere che si può sviluppare questo integrale in due modi: utilizzando l'anomalia eccentrica u, oppure l'anomalia vera f. Per ottenere delle formule generali, bisogna fare uso della variabile ausiliaria \[Beta] (quando m=0, non c'è bisogno di questa variabile nello sviluppo con u).
Nello sviluppo con f, m=0 non causa nessuna semplificazione sensibile. I risultati che sto per esporre provendono dagli integrali con l'anomalia eccentrica. Ricordo il celebre sviluppo di Bessel:
ma in questo sito mi occuperò solo degli sviluppi in serie di potenze di e:
Nello sviluppo con u, è fondamentale questa formula:
Sviluppo in serie di potenze di e:
Come mia abitudine, introduco delle funzioni numeriche HN:
Equazione differenziale e formule ricorrenti per le HN: