Il libro [Murray-Dermott-1999] in Appendix B (pp. 539-556) riporta le tavole dello sviluppo della funzione perturbatrice per due pianeti, limitata al quarto ordine (W=4). Le mie formule permettono di riprodurre i risultati di queste tavole per il quarto ordine, e funzionano anche per qualsiasi altro valore di W. Le formule hanno la prima sommatoria per j che varia fra -∞ e ∞, ma essa non viene valutata, e j viene mantenuto come simbolo algebrico negli argomenti e nelle funzioni di α. Per rendersi conto della consistenza del risultato, può essere utile conoscere due parametri delle tavole per un determinato ordine W: il numero degli argomenti del cos (NumCos) e il numero complessivo dei monomi contenuti in tutti i coefficienti (NumMon). Per le tavole SSD (W=4) i numeri sono: NumCos=81, NumMon=135. Le formule seguenti forniscono questi dati per ogni valore di W:
Prima di fare il conteggio, bisogna semplificare l’espressione, riunendo i termini apparentemente diversi, ma che si possono rendere uguali grazie alle proprietà di simmetria. La seguente formula realizza tale trasformazione, come appare dal fattore 2 (mancante solo nella prima parte). Nel programma pratico di calcolo il fattore 2 deve essere incorporato nella definizione della funzione DF(α).
La semplificazione di cui ho parlato comporta una ambiguità: quando due espressioni vengono trasformate in modo da diventare uguali, si può scegliere ad arbitrio di adottare la prima forma, oppure la seconda. Confrontando le 81 formule delle tavole SSD con quelle fornite dalla formula qui sopra, si trova che 10 hanno delle differenze di segno, perfettamente ammissibili (dati i diversi metodi analitici) e risolte cambiando il segno davanti a j in una delle due versioni.