Coefficienti di Laplace: classici e generalizzati
I coefficienti di Laplace, oggi universalmente conosciuti, furono introdotti da Pierre-Simon Laplace (1749-1827) nella sua celebre Memoria sulle perturbazioni di Giove e Saturno [Laplace-1785], con la stessa notazione oggi in uso. Ecco la funzione generatrice:
s deve essere un numero semintero:
Come ben spiegato in un articolo di Jacques Laskar [Laskar-2005], si possono prendere in considerazione anche dei coefficienti di Laplace generalizzati, con due indici, non necessariamente positivi e seminteri (attenzione: non tutti i valori degli esponenti r e s danno risultati sensati, si possono ottenere divisioni per 0):
Ovviamente, le serie non valgono per qualsiasi valore dei numeri r e s. Ammesso che ci siano le condizioni, si possono usare le formule:
Equazione differenziale e coefficienti dello sviluppo in serie
Sviluppo in serie:
Formule ricorrenti: