Un modo per ridurre il numero di gradi di libertà di un sistema di n corpi è quello di riferire il moto delle masse mi (i=1,...n-1) alla massa M=m0. Indico con ri i raggi vettori delle masse, riferiti ad una origine arbitraria:
Per comodità, d'ora in poi indicherò i raggi vettori riferiti alla massa m0 non più con q, ma con r:
Nel caso di una sola massa oltre a M, si avrebbe semplicemente:
Pi è detta perturbazione, in quanto è la parte dell'accelerazione che 'perturba' (disturba) il moto rispetto a quello che si avrebbe in un sistema di due corpi (M e mi), ed è la somma degli effetti dell'attrazione delle masse diverse da M e mi (masse "perturbatrici"). È utile esprimere Pi come gradiente di una funzione delle forze, detta funzione perturbatrice Ri. Si ottiene:
La parte con il Cos è detta indiretta, l'altra diretta.
Considero due pianeti (o satelliti), P e P', con orbite poco eccentriche ed inclinate; suppongo che i raggi vettori r e r' soddisfino sempre alla condizione r<r'. In base al risultato precedente, le funzioni perturbatrici R e R' dei due pianeti si esprimono con le formule:
Considero due pianeti (o satelliti), P e P', con orbite poco eccentriche ed inclinate; suppongo che i raggi vettori r e r' soddisfino sempre alla condizione r<r'. In base al risultato precedente, le funzioni perturbatrici R e R' dei due pianeti si esprimono con le formule:
dove ψ è l'angolo fra i due raggi vettori. Scrivo:
avendo introdotto le quantità adimensionali: